Dreifix Das Spiel für Zahlenfreunde

Regeln

Im Zahlenfeld müssen Dreifixe gefunden werden. Ein Dreifix besteht aus drei Zahlen in einer Reihe mit folgender Eigenschaft: Multipliziert man die 1.Zahl mit der 2.Zahl und addiert oder subtrahiert die 3.Zahl dazu, dann muss die vorgegebene Zielzahl herauskommen. Die drei Zahlen dürfen waagerecht, senkrecht oder diagonal in einer Reihe liegen - egal, ob vorwärts oder rückwärts gelesen.

Beispiel: Mögliche Dreifixe zur Zielzahl 14.

Beispiel 1: 3·3+5
Das Dreifix ist richtig, wenn man die drei Zahlen von unten nach oben liest und die dritte Zahl addiert.

Beispiel 2: 4·4-2
Das Dreifix ist richtig, wenn man die drei Zahlen von rechts oben nach links unten liest und die dritte Zahl subtrahiert.

Beispiel 3: 3·4+2
Das Dreifix ist falsch, da die drei Zahlen nicht in einer Reihe liegen, sondern "um die Ecke".

Beispiel 4: 3·4+2
Das Dreifix ist falsch, da die drei Zahlen zwar in einer Reihe liegen, aber nicht in der richtigen Reihenfolge. Möglich wäre z.B. 4·2+3, aber das ergibt eben nicht 14.

Bedienung

Um ein Dreifix im Zahlenfeld auszuwählen, klickt man der Reihe nach(!) mit der Maus auf die drei Zahlen, die das Dreifix bilden. Soll die 3. Zahl addiert werden, dann klickt man diese mit der linken Maustaste an; soll sie subtrahiert werden, dann klickt man sie mit der rechten Maustaste an.

Hat man eine falsche Zahl ausgewählt, kann man durch erneutes Anklicken die Auswahl wieder aufheben. Sobald jedoch die 3. Zahl ausgewählt wurde, ist das Dreifix abgeschlossen und wird vom Computer ausgewertet.

Ein Spiel besteht aus 6 Runden und man kann insgesamt 99 Punkte erreichen. Für jedes richtige Dreifix gibt es 3 Punkte, für jedes falsche Dreifix wird 1 Punkt abgezogen. Hat man zu einer Zielzahl alle Dreifixe gefunden, erhält man dafür 3 Zusatzpunkte. Hat man eine Runde beendet, kann man nicht mehr zurück.

Wer Dreifix ohne Internetverbindung spielen möchte, der kann Dreifix herunterladen.

Informationen für Zahlenfreunde

Das kleine Zahlenfeld

Verwendet man das kleine Zahlenfeld mit 25 Zahlen von 1 bis 5, dann gibt es insgesamt 432.889.404.948.000 Möglichkeiten, wie die 25 Zahlen im Zahlenfeld angeordnet werden können, also mehr als 432 Billionen Möglichkeiten! Die Wahrscheinlichkeit, dass man während seiner Lebenszeit zweimal vor genau dem gleichen Zahlenfeld sitzt, ist also seeeehr gering.

Unabhängig von der Anordnung der Zahlen, lassen sich auf dem Zahlenfeld theoretisch immer 192 Dreifixe bilden. Praktisch sind es aber weniger, weil einige Dreifixe zu unerlaubten Zielzahlen führen, nämlich solchen, die kleiner sind als 1. Um herauszufinden, wie viele verschiedene Dreifixe es denn tatsächlich gibt, habe ich den Computer mehr als 10 Millionen Spiele spielen lassen und so festgestellt, dass es durchschnittlich 168 Dreifixe sind, die sich bilden lassen. Wenn man Pech hat, sind es aber nur 143, wenn man Glück hat, sogar 187.

Aus den 192 verschiedenen Dreifixen lassen sich — ebenfalls theoretisch — höchstens 35 Zielzahlen erzeugen. Denn: Die kleinste mögliche Zielzahl ergibt sich aus 1·1–5=–4, die größte aus 5·5+5=30. Von –4 bis 30 sind es 35 Zahlen. Von diesen 35 Zahlen fallen die weg, die kleiner sind als 1. Also gibt es tatsächlich nur 30 Zielzahlen — theoretisch!
Praktisch ist das zwar möglich, kommt aber nur sehr selten vor. Durchschnittlich sind es 24 Zielzahlen, die sich mit allen Dreifixen eines Zahlenfeldes bilden lassen; wenn man Pech hat, auch mal nur 16. Für die 6 benötigten Zielzahlen eines Dreifix-Spiels reicht es aber in jedem Fall!

Interessant ist noch die Frage, wie viele verschiedene Dreifixe für eine Zielzahl es gibt. Fast immer gibt es Zielzahlen, für die es gar kein mögliches Dreifix gibt - das ist dann Pech für den Spieler. Der Computer sortiert diese Zielzahlen aber vorher aus, so dass man nie eine solche vorgesetzt bekommt. Dann gibt es aber auch Zielzahlen, die durch sehr viele verschiedene Dreifixe gebildet werden können. Ein Extrembeispiel ist hier abgebildet.

Für die Zielzahl 5 gibt es auf diesem Zahlenfeld insgesamt 37 Dreifixe! Du kannst ja mal probieren, wie viele von diesen du finden kannst. Dabei wirst du schnell feststellen, dass man den Überblick verliert und irgendwann gar nicht mehr weiß, welches Dreifix man schon gefunden hatte und welches neu ist. Darum sortiert der Computer auch solche Zielzahlen aus und lässt nur Zielzahlen zu, für die es höchstens 9 Dreifixe gibt. Die durchschnittliche Zahl von Dreifixen für eine Zielzahl beträgt übrigens 7.

Das große Zahlenfeld

Verwendet man das große Zahlenfeld mit 49 Zahlen von 1 bis 9, dann gibt es insgesamt 75.803.176.706.926.129.975.407.879.739.460.612.505.600 Möglichkeiten, wie die 49 Zahlen im Zahlenfeld angeordnet werden können, also mehr als 75 Sextilliarden Möglichkeiten!

Ließen sich beim kleinen Zahlenfeld — theoretisch — 192 Dreifixe bilden, so sind es hier 480 Dreifixe, und zwar unabhängig von der Anordnung der Zahlen im Zahlenfeld. Praktisch sind es auch beim großen Zahlenfeld weniger, weil einige Dreifixe zu unerlaubten Zielzahlen führen. Es sind aber auf jeden Fall immer mehr als 420 Dreifixe, wenn man Glück hat sogar bis zu 472; durchschnittlich sind es 448 Dreifixe.

Aus den 480 verschiedenen Dreifixen lassen sich — wieder nur theoretisch — höchstens 99 Zielzahlen erzeugen. Denn: Die kleinste mögliche Zielzahl ergibt sich aus 1·1–9=–8, die größte aus 9·9+9=90. Von –8 bis 90 sind es 99 Zahlen. Auch beim großen Zahlenfeld fallen wieder die Zielzahlen weg, die kleiner sind als 1, so dass nur 90 Zielzahlen übrig bleiben. Das kann tatsächlich passieren, ist aber seeeeehr selten — bei mehr als 10 Millionen simulierten Spielen ist dieser Fall nur ein einziges Mal vorgekommen. Durchschnittlich liefert das große Zahlenfeld 72 Zielzahlen, auf jeden Fall aber immer mindestens 55.

Die Anzahl der verschiedenen Dreifixe für eine Zielzahl ist beim großen Zahlenfeld mit durchschnittlich 6¼ etwas geringer als beim kleinen Zahlenfeld. Andererseits gibt es in seltenen Fällen auch Zielzahlen, für die es mehr als 40 Dreifixe gibt — und eben auch Zielzahlen, für die es gar kein Dreifix gibt. Ein Extrembeispiel ist hier abgebildet.

Für die Zielzahl 10 gibt es auf diesem Zahlenfeld insgesamt 44 Dreifixe! Es ist fast unmöglich, die zu finden, ohne dabei die Übersicht total zu verlieren. Natürlich kannst du es trotzdem versuchen ...

Wie der Computer die Zielzahlen auswählt

Das Verfahren für die Auswahl der 6 Zielzahlen, die der Spieler mit seinen Dreifixen bilden muss, ist ziemlich aufwändig und kompliziert — auf Einzelheiten werde ich darum nicht eingehen. Vereinfacht dargestellt, läuft die Auswahl ungefähr so ab:

Zunächst werden alle Zahlen des Zahlenfeldes (das sind immer gleich viel von der gleichen Sorte) gut gemischt und auf das Zahlenfeld verteilt. Dann berechnet der Computer alle Dreifixe und alle Zielzahlen, die sich aus diesen Dreifixen bei diesem Zahlenfeld bilden lassen.

Von diesen Zielzahlen werden zunächst diejenigen aussortiert, für die es mehr als 9 Dreifixe gibt. Aus den verbleibenden Zielzahlen werden dann 6 Zielzahlen zufällig ausgewählt, und zwar so, dass es für alle 6 Zielzahlen zusammen immer insgesamt 27 Dreifixe gibt. Dadurch ist sichergestellt, dass die Höchstpunktzahl bei jedem Spiel immer 99 Punkte beträgt. Denn: 27·3 Punkte + 6·3 Bonuspunkte = 99 Punkte. Die Spielergebnisse sind dadurch miteinander vergleichbar!

Die nach diesen Kriterien ausgewählten Zielzahlen werden dann noch so geordnet, dass als erstes die Zielzahl kommt, für die es die wenigstens Dreifixe gibt. Zuletzt bekommt man diejenige der 6 Zielzahlen, für die es die meisten Dreifixe gibt. So ist es am Anfang einfacher, die wertvollen Bonuspunkte zu erreichen.